Ответ на Номер №1164 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, отрезок AM — медиана, b = AC, c = AB. Докажите, что: а) AD = 2bc/(b + c) · √((1 + cos A)/2); б) AM = 1/2 · √(b² + c² + 2bc · cos A).

И биссектриса AD, и медиана AM — это отрезки из вершины A к стороне BC; задайте каждый вектором и разложите по векторам AB и AC. Для биссектрисы коэффициенты даёт её свойство: она делит BC в отношении прилежащих сторон c : b, поэтому AD = 1/(b + c) * (b * AB + c * AC); для медианы точка M — середина BC, поэтому AM = 1/2 * (AB + AC). Длину каждого отрезка получите, возведя его вектор в скалярный квадрат и подставив AB² = c², AC² = b², AB * AC = bc * cos A, а затем извлеките корень. В пункте а) при упрощении вынесите множитель, представив 2 * (1 + cos A) как 4 * (1 + cos A)/2.

Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и такая точка D на прямой AC, что точка C лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок B₁D, который получается из отрезка BC параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырёхугольник ABB₁D — равнобедренная трапеция.