Ответ на Номер №1265 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг неё на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.

Докажите два факта: точка D одинаково удалена от всех вершин и углы при D между отрезками к соседним вершинам равны 120°. Все углы равностороннего треугольника по 60°, а биссектрисы делят их пополам, поэтому в треугольниках ABD, BCD, CAD по два угла 30° — они равнобедренные, откуда DA, DB и DC равны, а третий угол каждого при вершине D равен 120° (сумма углов треугольника равна 180°). Так как поворот на 120° сохраняет расстояния до D, а угол между соседними вершинами при D как раз 120°, каждая вершина переходит в соседнюю, значит весь треугольник отображается на себя; проверьте оба направления поворота.

Даны три точки A, B, C и три числа α, β, γ. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых сумма αAM² + βBM² + γCM² имеет постоянное значение, если: а) α + β + γ ≠ 0; б) α + β + γ = 0.