Ответ на Номер №1268 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Постройте прямую a1, которая получается из прямой a поворотом вокруг точки O на угол 60° по часовой стрелке, если прямая a: а) не проходит через точку O; б) проходит через точку O.

В пункте а) примените приём из учебника: постройте окружность с центром O, касающуюся прямой a, и отметьте точку касания M (тогда OM перпендикулярна a). При повороте эта окружность переходит сама в себя, а касательная a — в касательную a1. Поверните точку M вокруг O на 60° по часовой стрелке (получив равнобедренный треугольник OMM1 с углом 60° при вершине O), найдите M1 и проведите касательную к окружности в точке M1 — это и будет a1. В пункте б) прямая проходит через O, а центр при повороте неподвижен: возьмите на прямой любую точку A, поверните её на 60° по часовой стрелке в точку A1 и проведите прямую через O и A1.

Пусть A и B — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек M, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки A и B, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.