Ответ на Номер №1266 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

Обозначьте O — точку пересечения диагоналей — и используйте два свойства диагоналей квадрата. Первое: они равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA, OB, OC, OD равны, то есть все вершины лежат на одной окружности с центром O. Второе: диагонали перпендикулярны, поэтому углы AOB, BOC, COD, DOA равны 90°. Тогда при повороте на 90° вокруг O луч к каждой вершине совмещается с лучом к соседней при том же расстоянии, значит вершины по кругу переходят одна в другую, и квадрат ложится на себя в любую сторону поворота.

Даны прямая a и точка A, не лежащая на ней. Для каждой точки M₁ прямой a на луче AM₁ взята такая точка M, что AM₁ · AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек M.