Ответ на Номер №1269 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Если при повороте вокруг точки O на некоторый угол прямая a переходит в прямую a1, то угол между прямыми a и a1 либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°. Докажите.

Разберите два случая по положению центра O. Если O лежит на прямой a, то она неподвижна и обе прямые проходят через O: угол между лучом прямой a и его образом равен углу поворота, а смежный с ним угол дополняет его до 180°. Если O не лежит на a, опустите из O перпендикуляр OH на прямую a; при повороте точка H переходит в точку H1 на прямой a1, причём OH1 перпендикулярна a1. В четырёхугольнике OHCH1, где C — точка пересечения прямых, углы при H и H1 прямые, а угол при O равен углу поворота, поэтому угол при C дополняет угол поворота до 180°, а смежный с ним угол равен самому углу поворота.

На сторонах квадрата MNPQ взяты точки A и B так, что NA = 1/2 MN, QB = 1/3 MN (рис. 369). Докажите, что ∠AMB = 45°.