Ответ на Номер №1235 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу, п. 71). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

Длина окружности зависит только от радиуса (C = 2*пи*r), поэтому отношение длин окружностей равно отношению их радиусов — сведите доказательство к отношению r1 к r2. Радиус вписанной в треугольник окружности выразите через площадь и периметр по формуле S = P*r/2, откуда r = 2S/P. Используйте два свойства подобных треугольников: периметры относятся как коэффициент подобия k, а площади — как k*k. Подставьте эти отношения в r1/r2 = (S1/S2)*(P2/P1) — лишние множители сократятся, и связь длин окружностей с k станет видна.

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью BKL, где K — середина ребра AA₁, а L — середина ребра CC₁. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.