Ответ на Номер №1225 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Диагонали A1A6 и A2A9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке B (рис. 355). Докажите, что: а) треугольники A1A2B и A6A9B равносторонние; б) A1A6 = 2r, где r — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

Все вершины лежат на описанной окружности, поэтому углы треугольников A1A2B и A6A9B - вписанные, а вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается; каждая сторона двенадцатиугольника стягивает дугу 360°/12 = 30°. Покажите, что углы при вершинах A1, A2, A6, A9 опираются на дуги по 120° (четыре стороны) и потому равны 60°, тогда оба треугольника равносторонние. Для пункта б) опустите из центра O перпендикуляр на диагональ A1A6 (он делит её пополам) и апофему на сторону (её длина равна r); получившиеся прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, откуда половина диагонали равна r.

Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.