Ответ на Номер №1075 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2a и 2b. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых AM² + DM² = BM² + CM².

Введите координаты в точке пересечения диагоналей ромба O, направив оси вдоль диагоналей: A(-a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; -b), где a и b — половины диагоналей. Запишите квадраты расстояний от M(x; y) до вершин и подставьте в равенство AM² + DM² = BM² + CM²; одинаковые слагаемые сократятся, и получится уравнение вида y = k*x, то есть прямая через точку O. Чтобы уточнить, как она направлена, сравните её угловой коэффициент k с угловым коэффициентом стороны ромба — перемножьте их и проверьте, не равно ли произведение -1.

В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, AM — медиана, b = AC, c = AB. Докажите, что:
а) AD = 2bc/(b + c) · √((1 + cos A)/2);
б) AM = 1/2 · √(b² + c² + 2bc cos A).