Ответ на Номер №1074 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых (AM² + DM²) - (BM² + CM²) = 2AB².

Введите систему координат по прямоугольнику: положите A и D на ось абсцисс симметрично оси ординат, тогда A(-a/2; 0), D(a/2; 0), B(-a/2; b), C(a/2; b), где b = AB. Для точки M(x; y) запишите квадраты расстояний до всех четырёх вершин и подставьте в левую часть (AM² + DM²) - (BM² + CM²): слагаемые с x сократятся, останется выражение только с y. Приравняйте его к 2AB² = 2b² и найдите y — уравнение вида y = const задаёт прямую, а по значению y поймёте, где именно на прямоугольнике она проходит.

Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC и BM = kMC. Докажите, что (1 + k)²AM² = k²b² + 2bck cos A + c², где b = AC, c = AB.