Ответ на Номер №170 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K1 так, что AK = BK1. Докажите, что: а) OK = OK1; б) точка O лежит на прямой KK1.

Общая середина даёт OA = OB и OC = OD, а углы AOC и BOD равны как вертикальные, поэтому треугольники AOC и BOD равны (первый признак) — отсюда AC = BD и угол OAC = угол OBD. Для пункта а сравните треугольники AOK и BOK1: OA = OB, эти углы при A и B равны, AK = BK1, значит OK = OK1. Для пункта б из тех же равных треугольников угол AOK = угол BOK1; так как точки A, O, B лежат на одной прямой, лучи OK и OK1 противоположно направлены, поэтому K, O и K1 лежат на одной прямой.

Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.