Ответ на Номер №165 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B; б) каждая точка, равноудалённая от точек A и B, лежит на прямой a.

Обозначь середину отрезка AB буквой O. а) Возьми любую точку прямой a и соедини её с A и B; получившиеся треугольники равны по двум сторонам и прямому углу между ними (общий отрезок до точки O, равные половины AO = OB и прямые углы при O), откуда расстояния до A и до B равны. б) Обратно, если точка равноудалена от A и B, то треугольник с вершинами в ней и в точках A, B равнобедренный, а отрезок из этой точки в середину O основания AB является медианой, значит и высотой, поэтому он лежит на прямой a.

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O. На отрезках AC и BD отмечены точки K и K₁ так, что AK = BK₁. Докажите, что: а) OK = OK₁; б) точка O лежит на прямой KK₁.