Ответ на Номер №909 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, A1, B1, C1 — точки, симметричные точке H относительно прямых BC, CA, AB, а A2, B2, C2 — точки, симметричные точке H относительно середин сторон BC, CA, AB. Докажите, что точки A1, B1, C1, A2, B2, C2 лежат на окружности, описанной около треугольника ABC.

Для каждой стороны используйте центральную симметрию H относительно её середины, чтобы получить параллелограмм и прямые углы, опирающиеся на диаметр. Затем свяжите полученную точку с отражением H относительно той же стороны и докажите принадлежность обеих точек описанной окружности.

Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах A, B и C пересекают прямые BC, CA и AB соответственно в точках A₁, B₁ и C₁. Используя векторы, докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.