Ответ на Номер №1395 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

Выберите одну биссектрису и продолжите её до описанной окружности. Свяжите перпендикулярность линии центров этой биссектрисе с положением середины соответствующего отрезка, а затем примените теорему Фалеса. Выразив возникающие отрезки через стороны треугольника, получите условие, при котором одна сторона является средним арифметическим двух других; обратное рассуждение докажет достаточность.