Ответ на Номер №1143 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM² = AB² + AC² + 2AB·AC·cos A. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Выразите вектор медианы: так как M — середина BC, то в векторах 2 * AM = AB + AC. Возведите это равенство в скалярный квадрат: слева получится 4 * AM^2, справа раскройте (AB + AC)^2 = AB^2 + 2 * (AB * AC) + AC^2, где AB * AC = AB * AC * cos A. Это и даёт нужную формулу. Для второй части примените формулу к медианам из вершин B и C: у равнобедренного треугольника боковые стороны равны и углы при основании равны, поэтому правые части двух формул совпадают, откуда следует равенство медиан.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.