Ответ на Номер №895 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACFK и BCDE, CH — высота треугольника ABC. Докажите, что прямые CH, BK и AE пересекаются в одной точке.

Обозначьте точки пересечения BK и AE с противоположными катетами. С помощью подобия прямоугольных треугольников и свойства высоты к гипотенузе найдите три отношения, на которые соответствующие прямые делят стороны треугольника, а затем примените обратную теорему Чевы.

Для неравностороннего треугольника ABC точка O является центром описанной окружности, H — точка пересечения прямых, содержащих высоты AA₁, BB₁ и CC₁, точки A₂, B₂, C₂ — середины отрезков AH, BH, CH, а точки A₃, B₃, C₃ — середины сторон треугольника ABC. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂, A₃, B₃, C₃ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).