Ответ на Номер №842 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны AB, BC, CD и DA соответственно в точках P, Q, R и T. Докажите, что если точка M лежит на диагонали AC, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка M лежит на диагонали AC.

Прямое утверждение докажите разбиением равновеликих треугольников ABC и ADC на два малых треугольника и соответствующий параллелограмм. Для обратного утверждения возьмите на AC точку, лежащую на одной из проведённых через M параллельных прямых. Сравните площади параллелограммов по формуле «основание × высота» и покажите, что равенство возможно только при совпадении этой точки с M.

Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок AB в точке M и отрезок CD в точке K. Прямая, проведённая через точку K параллельно отрезку AB, пересекает отрезок BD в точке T, а прямая, проведённая через точку M параллельно отрезку CD, пересекает отрезок AC в точке E. Докажите, что прямые BE и CT параллельны.