Ответ на Номер №878 из ГДЗ по Геометрии 7-9 класс: Атанасян Л.С.

В треугольнике ABC, сторона AC которого в 2 раза больше стороны BC, проведены биссектриса CM и биссектриса внешнего угла при вершине C, пересекающая прямую AB в точке K. Докажите, что S_BCM = 1/2 S_ACM = 1/3 S_ABC = 1/2 S_CMK.

Все рассматриваемые треугольники имеют основания на прямой AB и общую высоту из C, поэтому достаточно сравнить их основания. Возьмите середину AC и используйте равенство её половины стороне BC, чтобы получить равные треугольники. Свойства внутренней и внешней биссектрис помогут связать отрезки BM, AM и MK.

Прямая AC — касательная к окружности с центром O₁, а прямая BD — касательная к окружности с центром O₂ (рис. 270). Докажите, что: а) AD || BC; б) AB² = AD · BC; в) BD² : AC² = AD : BC.